Was haben komplexe Zahlen in der Hydrogeologie zu suchen?

Adalbert Huss1
1 HPC AG

P 13.4 in Reaktive Transportmodellierung

 

In unserem Alltag verwenden wir reelle Zahlen. Diese sind durch einen einzigen Wert bestimmt. Neben diesen gibt es aber auch Zahlen, welche durch zwei Werte definiert sind, die sogenannten komplexen Zahlen. Genau wie bei den reellen Zahlen können auch auf der Menge dieser komplexen Zahlen Funktionen definiert werden, welche ein Element auf ein anderes abbilden. Eine spezielle Klasse unter diesen Funktionen bilden die „konformen Abbildungen“. Diese vereinigen zwei Eigenschaften in vor­teilhafter Weise: sie sind winkeltreu, das heißt der Winkel zwischen zwei Linien des Urbilds bleibt in der Abbildung erhalten, und sie erlauben, Ge­biete der komplexen Zahlenebene, welche abgebildet werden sollen, nahezu beliebig vorzugeben.

In der Physik werden konforme Abbildungen seit langem geschätzt, weil eine Funktion, wel­che von einem Potenzial hergeleitet werden kann, diese Eigenschaft in einer konformen Ab­bildung beibehält. Die besondere Bedeutung konformer Abbildungen liegt hierbei in der Mög­lichkeit zur  „Linearisierung“ verzerrter Strukturen unter Beibehaltung der rechtwinkligen Be­ziehung zwischen Potenzialfeld und den Fluss- oder Stromlinien. So können komplizierte Strukturen wie z. B. die Umströmung einer Barriere auf ein einfaches Rechteck abgebildet werden, dessen analytische Handhabung wesentlich einfacher ist, als die des krummlinigen Urbilds.

In der Hydrogeologie sind konforme Abbildungen hingegen ein bislang kaum bekanntes, aber für die Behandlung zahlreicher Potentialprobleme außerordentlich nützliches Werk­zeug. Anwendungsfälle ergeben sich insbesondere dort, wo das Grundwasserströmungsfeld in die weitere Auswertung eingeht, wie zum Beispiel bei der Auswertung integraler Pump­versuche oder bei der Modellierung des Schadstofftransports. Gerade im letztgenannten Be­reich, der Strömungstransportmodellierung, kann die Anwendung konformer Abbildungen da­zu beitragen, die mit der Diskretisierung verbundenen Nachteile (Oszillationen, nume­rische Dispersion, Fehleranisotropie) erheblich zu reduzieren oder sogar gänzlich zu ver­mei­den.

Der Beitrag wird – nach einer kurzen theoretischen Einführung – die praktische Bedeutung kon­former Abbildungen in einer Reihe von Beispielen demonstrieren und dadurch – so die Hoffnung – Interesse für die weitere Umsetzung dieses überraschend wirkungsvollen metho­dischen Ansatzes in der Hydrogeologie wecken.

Linearisierung komplexer Strömungsfelder
Linearisierung komplexer Strömungsfelder



Betz, Albert (1964): Konforme Abbildung, Springer Softcover reprint of the original 2nd ed., 2012

Discroll Tobin A., Trefethen, Lloyd N. (2002): Schwarz-Christoffel Mapping; Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics; Cambridge University Press, Cambridge, UK, pp. 132

Ivanov , Valentin I., Trubetskov , Michael K. (1994): Handbook of Conformal Mapping with Computer-Aided Visualization; Taylor & Francis Group , 1994. hardcover. New. pp. 368